"Бывает нечто, о чём говорят: "смотри, вот это новое"; но это было уже в веках, бывших прежде нас"
Екклезиаст гл.1 ст. 10

четверг, 13 сентября 2012 г.

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ



ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

Число - 1 0 0 1 0 1 1 0 1

Разряд - 8 7 6 5 4 3 2 1 0


Порядковому номеру разряда соответствует его вес — множитель, на который надо умножить значение разряда в данной системе счисления.



ПРИМЕРЫ

число 111 в десятичной системе:

число 101110 в двоичной системе:

равно 46 в десятичной системе


Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.
Двоичная: 0,1 (основание = 2)
Десятичная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (основание = 10)
Шестнадцатеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (основании = 16)

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные - которые содержат неограниченное количество символов, причём количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от её начертания. Позиция цифр в числе значения не имеет.

Пример:

I = 1
II = 2
III = 3
XXXI = 31

Позиционными называются системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причём значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе.

Пример:

111 = 100 + 10 + 1


ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА

Под двоичной системой исчисления понимают систему счисления, в которой для изображения чисел используется 2 символа - 0 и 1. Двоичная система счисления является позиционной системой счисления с основанием 2. Таким образом, многоразразрядные числа в двоичной системе представляются как суммы различных степеней двойки. Если какой–либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом.

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ

Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнить последовательное деление десятичного числа на 2 с округлением до целого числа в сторону уменьшения, записывая в столбик все результаты деления; затем возле каждого нечётного результата деления поставить 1, а возле чётного - 0. Полученное двоичное число записываем в строчку, начиная с нижней строчки правого столбца.

Например, необходимо перевести деятичное число 46 в двоичный вид:



получаем число 101110


ПРАВИЛА ДВОИЧНОГО СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

СЛОЖЕНИЕ

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10

Результат последнего действия означает перенос единицы в высший разряд. То есть для увеличения или уменьшения двоичного числа на порядок применяются операция сдвига вправо или влево (SRR и SRL).

СЛОЖЕНИЕ В СТОЛБИК



УМНОЖЕНИЕ

0x0=0
0x1=0
1x0=0
1x1=1



УМНОЖЕНИЕ В СТОЛБИК



ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ

Для перевода необходимо разложить число по основанию системы счисления и посчитать результат.

Например, число 101110 в двоичной системе равно 46 в десятичной системе.


ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Для преобразования цифровых данных из десятичной системы в двоичную, а также для обратного перевода, применяются специальные устройства - шифраторы и дешифраторы. Как и другие узлы цифровых вычислителей, они реализуются на элементах цифровой логики.

ПРИМЕРЫ:





Частично использовались материалы:

А.Б. Гордин. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ КИБЕРНЕТИКА. изд. Энергия, Москва, 1974.
Харьковский Национальный политехнический университет, http://khpi-iip.mipk.kharkiv.edu