"Бывает нечто, о чём говорят: "смотри, вот это новое"; но это было уже в веках, бывших прежде нас"
Екклезиаст гл.1 ст. 10

четверг, 13 сентября 2012 г.

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ


ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Двоичная: 0,1 (основание = 2)
Десятичная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (основание = 10)
Шестнадцатеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (основании = 16)

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные - которые содержат неограниченное количество символов, причём количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от её начертания. Позиция цифр в числе значения не имеет.

Пример:

I = 1
II = 2
III = 3
XXXI = 31

Позиционными называются системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причём значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе.

Пример:

111 = 100 + 10 + 1


Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

Число - 1 0 0 1 0 1 1 0 1

Разряд - 8 7 6 5 4 3 2 1 0


Порядковому номеру разряда соответствует его вес - множитель, на который надо умножить значение разряда в данной системе счисления.


ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА

Под двоичной системой исчисления понимают систему счисления, в которой для изображения чисел используется 2 символа - 0 и 1. Двоичная система счисления является позиционной системой счисления с основанием 2. Таким образом, многоразразрядные числа в двоичной системе представляются как суммы различных степеней двойки. Если какой–либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом.


ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ


Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнить последовательное деление десятичного числа на 2 с округлением до целого числа в сторону уменьшения до тех пор, пока остаток не будет мньше нуля, записывая в столбик все результаты деления; затем возле каждого нечётного результата деления поставить 1, а возле чётного - 0. Полученное двоичное число записываем в строчку, начиная с нижней строчки правого столбца.

Например, необходимо перевести деятичное число 46 в двоичный вид:

46/2=(0)23/2=(1)11/2=(1)5/2=(1)2/2=(0)1/2=(1)0

46 0
23 1
11 1
5 1
2 0
1 1

получаем число 1011102


ПРАВИЛА ДВОИЧНОГО СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ


СЛОЖЕНИЕ

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10

Результат последнего действия означает перенос единицы в высший разряд. То есть для увеличения или уменьшения двоичного числа на порядок применяются операция сдвига вправо или влево (SRR и SRL).

СЛОЖЕНИЕ В СТОЛБИК




УМНОЖЕНИЕ

0x0=0
0x1=0
1x0=0
1x1=1


УМНОЖЕНИЕ В СТОЛБИК



ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ


Перевод числа из двоичной системы в десятичную осуществляется путем умножения каждой цифры двоичного числа на 2 в степени, соответствующей её позиции, и суммирования полученных значений.

Например, число 101110 в двоичной системе равно 46 в десятичной системе:

1011102=1 ∙ 25 + 0 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 4610


ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ


Для преобразования цифровых данных из десятичной системы в двоичную, а также для обратного перевода, применяются специальные устройства - шифраторы и дешифраторы. Как и другие узлы цифровых вычислителей, они реализуются на элементах цифровой логики.

ПРИМЕРЫ:




Частично использовались материалы: А.Б. Гордин. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ КИБЕРНЕТИКА. изд. Энергия, Москва, 1974



вторник, 11 сентября 2012 г.

ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЦИФРОВЫХ МИКРОСХЕМ



Теоретической основой проектирования цифровых (логических) устройств является математическая логика, описывающая связь между высказываниями. Высказывание может отвечать или не отвечать действительности. В первом случае оно истинно (равно 1), во втором — ложно (равно 0). Из любого высказывания путем операций в соответствии с законами Булевой алгебры можно получить новое высказывание. Функции Булевой алгебры включают только три операции - AND (И) умножение или конъюнкция, OR (ИЛИ) сложение или дизъюнкция, и NOT (НЕ) отрицание или инверсия, но с их помощью можно реализовать и другие логические функции, например исключающее ИЛИ (XOR). Под функцией Исключающее ИЛИ понимается следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Если единиц на входах две или больше, или если на всех входах нули, то на выходе будет нуль. О других реализациях логических функций будет сказано далее.

Цифровые (логические) микросхемы представляют собой электронные устройства, в которых обрабатываемая информация представлена в двоичном коде. Двоичный код может быть представлен уровнем дискретного сигнала. Если за единицу принят высокий уровень сигнала, имеет место положительная логика работы элемента. Если за единицу принят низкий уровень сигнала, получаем отрицательную логику. Переменные величины и функции от них, которые могут принимать только два значения 0 и 1, называются соответственно логическими переменными и логическими функциями.
По виду реализуемой логической функции базовые логические элементы могут быть разделены на простейшие элементы одноступенчатой: И (AND) – конъюнктор; ИЛИ (AND) – дизъюнктор; НЕ (NOT) - инвертор; И-НЕ (NAND) - штрих Шеффера; ИЛИ-НЕ (NOR) - стрелка Пирса, и двухступенчатой: И-ИЛИ; И-ИЛИ-НЕ логики.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ НА СХЕМАХ СОГЛАСНО ГОСТ 2.743-91
И ТАБЛИЦЫ СОСТОЯНИЙ



ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ ОБОЗНАЧЕНИЙ ГОСТ И СТАНДАРТА МЭК СТАНДАРТУ MILSPEC



На основе цифровых элементов одно- и двухступенчатой логики могут быть построены сложные функциональные узлы: комбинаторные схемы (сумматоры, мультиплексоры), схемы с памятью (триггеры, регистры, счётчики), генераторы импульсов.

Схема мультивибратора на инверторах.




суббота, 8 сентября 2012 г.

ЗАКОНЫ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ (Boolean Algebra Laws)



Введение

Выполнение любой логической операции сводится к определению истинности или ложности некоторого условия.

Булева алгебра решает математическую задачу в терминах высказываний, и является алгеброй двух значений истинности.
Для двух двоичных переменных (принимающих значения 0 и 1) существует 16 возможных функций. Функции включают только три операции: AND (И) - умножение или конъюнкция, OR (ИЛИ) - сложение или дизъюнкция, и NOT (НЕ) - отрицание или инверсия, которые символически представляются следующим образом: AND: A×B ; OR: A+B ; A̅= NOT A .


Законы булевой алгебры и упрощение логических выражений

Законы (правила)
Rules
Сложение (Addition)
Умножение (Multiplication)
Поглощение
Absorption
A+(A×B)=A
A×(A+B)=A
Аннулирование
Annihilator
A+1=1
A×0=0
Ассоциативнось (объединение)
Associativity
(A+B)+C=A+(B+C)
(A×B)×C=A×(B×C)
Коммуникативность (перестановка)
Commutativity
A+B=B+A
A×B=B×A
Дополнения
Complement Laws
A+A̅=1
A̅×A=0
частные случаи:
A+A̅B=A+B; AA̅+AB=AA̅+B
Правило Де Моргана
De Morgan Theorem
(A+B)
=A̅×B̅

(A×B)
=A̅+B̅
Дистрибутивность
Distributivity
A×(B+C)=(A×B)+(A×C)
A+(B×C)=(A+B)×(A+C)
Двойное отрицание
(частныйный случай закона коммуникативности)
=A
Тождественность
Identity
A+0=A
A×1=A
Тавтология
Idempotence
A+A=A
A×A=A


Пример упрощения:

Предположим, у нас есть схема, и мы хотим её упростить. Функция этой логической схемы содержит только базовые элементы (И, ИЛИ, НЕ), и мы хотим продолжать использовать только эти базовые элементы. Функция выглядит следующим образом:

F(A, B, C) = (A+B)B̅ + B̅ + BC

Используем закон (правило) диструбутивности (A+B)B̅ = AB̅ + BB̅:

F(A, B, C) = AB̅ + BB̅ + B̅ + BC

Используем один из законов дополнения (BB̅ = 0); затем закон тождественности при сложении (AB̅ + 0 = AB̅):
F(A, B, C) = AB̅ + B̅ + BC

Вынесем общий множитель B̅ за скобки :

F(A, B, C) = B̅(A + 1) + BC

Используем аннулирование сложения (A + 1 = 1), а затем закон тождественности при умножении (B̅ × 1 = B̅):

F(A, B, C) = B̅ + BC

Используем законы дополнения (B̅ + BC = B̅ + C):

F(A, B, C) = B̅ + C

Последнее выражение представляет собой упрощенную функцию. Как вы можете видеть, у нас больше нет входа A, потому что он не нужен для получения конкретных выходных значений, которые дала нам эта схема!




Диаграммы состояний


Следует чётко понимать, что Булева алгебра, не то же самое, что двоичная алгебра. Булева алгебра представляет совершенно иную область математики, в отличие от двоичной системы счисления, являющейся не более чем альтернативной системой обозначения вещественных чисел. Булева математика и двоичная система счисления обе используют 1 и 0. Разница в том, что булевы величины ограничены одним битом (1 или 0) и обозначают истинность или ложность высказывания, тогда как двоичные числа могут состоять из многих битов. Например, двоичному числу 11001000 (двести) нет места в булевом мире.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ

С помощью устройств, имеющих только два состояния (два разрешённых значения), руководствуясь положениями Булевой алгебры, можно создать схемы, способные выполнять логические и математические операции с двоичными числами (побитовые операции).


Историческая справка

Термин "Булева алгебра" используется в честь Джорджа Буля (George Boole; 1815-1864), английского математика-самоучки, родоначальника раздела математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями, предполагая, что высказывания могут быть только истинными или ложными.



понедельник, 3 сентября 2012 г.

ЦИФРОВОЙ КОМПЬЮТЕР



Аналоговый компьютер производит вычисления с непрерывными сигналами (в непрерывном диапазоне значений). Аналоговые сигналы подвержены паразитным искажениям, и, несмотря на то, что аналоговый компьютер обрабатывает сигналы практически мгновенно, результаты будут иметь определенную погрешность.

Цифровой компьютер - обрабатывает информацию в дискретной форме (оперирует последовательностью состояний, имеющих два разрешённых значения: открыто-закрыто; наличие-отсутствие; истина-ложь, которые могут быть выражены только двумя цифрами – 1 или 0).

В отличие от аналоговых, цифровые сигналы, имеющие всего два разрешённых значения - уровень логического нуля и уровень логической единицы, по своей природе, защищены от действия помех. Небольшие отклонения от разрешённых значений никак не искажают цифровой сигнал, так как всегда существуют зоны допустимых отклонений, например, напряжение от 0 до 1 В (уровень нуля) и от 3 до 5 В (уровень единицы). Цифровые сигналы проще обрабатывать, чем аналоговые. Аналоговый сигнал может быть преобразован в цифровой, и цифровой сигнал в аналоговый при помощи аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователей. Естественно, что при преобразовании, часть информации теряется. Чем сложнее сигнал, тем больше процессорных тактов требуется (соответственно и времени) на его анализ цифровому устройству, но цифровой компьютер может выполнить любые преобразования в соответствии со своей программой, он универсален, его проще проектировать и в логических операциях он имеет явное преимущество над аналоговыми вычислителями.
ЦИФРОВОЙ КОМПЬЮТЕР

Цифровой компьютер (наверное, точнее было бы назвать его двоичным или бинарным) - любой класс устройств, способных обрабатывать информацию в дискретной форме. Цифровой компьютер оперирует данными, которые представлены в двоичной форме, т.е., используя только две цифры 0 и 1, которые могут обозначать наличие или отсутствие сигнала (напряжения, тока в электронных системах; состояние механического клапана, замка – открыт или закрыт и т.п.). Манипулируя этими цифрами или их комбинациями в соответствии с набором инструкций, имеющихся в его памяти, цифровой компьютер может выполнить задачи контроля процессов, анализа и систематизация данных, моделирования поведения динамических систем.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ


В упрощенном виде цифровая вычислительная система имеет четыре основных функциональных элемента: 1) устройство ввода-вывода (input-output equipment), 2) основной памяти (main memory) или по другому оперативного запоминающего устройства (ОЗУ), 3) управляющее устройство (control unit), 4) арифметико-логическое устройство (arithmetic-logic unit, ALU).
Важнейший принцип, заложенный в архитектуру цифрового компьютера - принцип программного управления, что позволяет компьютеру эмулировать любую другую вычисляющую систему всего лишь заменой сохранённой последовательности инструкций. Программа есть последовательность специальных кодов. Программа, записанная в запоминающем устройстве, управляет действиями процессора. Данные для обработки процессор получает от устройств ввода, а полученные результаты отправляет на устройства вывода. Устройства ввода (input devices) включают такие устройства как клавиатуры и сканеры (но не только их) и используются для ввода данных и программ. К устройствам вывода относятся, например принтеры и мониторы, они используются для контроля вводимых данных и вывода результатов вычислений. Информация, полученная компьютером от устройства ввода, хранится в основной памяти, либо, если она не предназначена к немедленной обработке, в дополнительном устройстве хранения данных (auxiliary storage device, внешнее запоминающее устройство). Управляющее устройство выбирает и вызывает инструкции из памяти в определённой последовательности, и передает соответствующие команды необходимому функциональному блоку. Оно также синхронизирует работу устройств ввода-вывода и арифметико-логического устройства (АЛУ), что обеспечивает надлежащую обработку и движение данных через компьютерную систему. АЛУ производит вычисления и логические операции с числами. Основная память, управляющее устройство и АЛУ совместно составляют процессор (central processing unit, CPU).
В действительности, обобщённая схема, даже в упрощённом виде, выглядит намного сложнее. Так для работы цифровых вычислителей необходим тактовый генератор - генератор электрических импульсов прямоугольной формы, который задаёт рабочие такты процессора (наименьшая единица времени, в течение которой компьютер выполняет какую-либо операцию), обеспечивает синхронную работу всех модулей, организует циклы системной шины. Должен присутствовать такой элемент, как контроллер, который направляет потоки информации по нужным шинам, следит за сигналами от внутренних и внешних устройств. И, наконец, должны быть электрические шины, по которым цифровые сигналы, в строго определённые моменты времени, подводятся к нужному устройству.
Я подозреваю, что, не смотря на все мои старания и упрощения, не всё понятно моему читателю. Ну что же, будем двигаться от сложного к простому, и в следующих публикациях, я обязательно затрону азы цифровой электроники и основы двоичного счисления.
Дополнительно: Internet Archive | Tandy/Radio Shack Book: Understanding Digital Computers (1978, Radio Shack); Digital computer fundamentals by Thomas C.Bartee (6th Edition T.M.H. Publisher, New Delhi, 1991)



суббота, 1 сентября 2012 г.

ЖУЧОК ТЕРМЕНА



Это произошло послевоенным летом 1945 года. Послу США в СССР А.Гарриману (Averell Harriman) советскими пионерами был торжественно вручен в качестве ценного подарка, изготовленный из ценных пород дерева, герб США. Эксперты посольства дали заключение о безопасности подарка, и Гарриман поместил его над своим столом в кабинете, где символ Америки провисел много лет, пережив четырёх послов. Лишь в начале 50-х годов, косвенным путём была обнаружена утечка информации, которая могла исходить только из кабинета посла. Тогда же сотрудники американского посольства в Москве обнаружили внутри деревянного резного герба США, висящего в кабинете посла, миниатюрный металлический цилиндр. "Жучок" озадачил западных специалистов, поскольку не имел ни элементов питания, ни электрических цепей.
УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ


Жучок Термена – пассивный (не требующий элементов питания) резонатор, предшественник нынешней технологии RFID (технология радиочастотной идентификации), состоял из миниатюрного полого металлического цилиндра (резонансной камеры) с мембраной и подключенной к ней четвертьволновой антенны-штырька.

Устройство активировалось радиосигналом от внешнего источника, при этом полость цилиндра (камера резонатора) входила в резонанс, и радиоволна переизлучалась обратно через антенну-штырек. Вибрирующая под действием звуковых колебаний мембрана модулировала частоту переизлучённого сигнала, который на приёмной стороне демодулировался.

Обнаружение жучка представляло практически непосильную задачу для спецслужб: он был миниатюрный; не имел источников питания и активных компонентов; не излучал никаких сигналов, до момента активации радиосигналом прослушивающей стороны. Эти особенности устройства, наряду с общей простотой конструкции, сделали его надёжным и с потенциально неограниченным сроком эксплуатации, инструментом.

"Златоуст" – так многозначительно назвали систему ответственные органы Советского государства и "Вещица" или по другому "Штучка" (The Thing) – противоположная сторона.
Разработчик системы, заключённый Л.С. Термен, получил в 1947 г. по личному представлению Л.П. Берии - Сталинскую премию, двухкомнатную квартиру и свободу.
Дополнительно: THE GREAT SEAL BUG STORY by Kevin D. Murray;