ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.
Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.
Двоичная: 0,1 (основание = 2)
Десятичная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (основание = 10)
Шестнадцатеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (основании = 16)
Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
Непозиционные - которые содержат неограниченное количество символов, причём количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от её начертания. Позиция цифр в числе значения не имеет.
Пример:
I = 1
II = 2
III = 3
XXXI = 31
II = 2
III = 3
XXXI = 31
Пример:
111 = 100 + 10 + 1
Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.
Число - 1 0 0 1 0 1 1 0 1
Разряд - 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Порядковому номеру разряда соответствует его вес - множитель, на который надо умножить значение разряда в данной системе счисления.
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА
Под двоичной системой исчисления понимают систему счисления, в которой для изображения чисел используется 2 символа - 0 и 1. Двоичная система счисления является позиционной системой счисления с основанием 2. Таким образом, многоразразрядные числа в двоичной системе представляются как суммы различных степеней двойки. Если какой–либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом.
ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ
Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнить последовательное деление десятичного числа на 2 с округлением до целого числа в сторону уменьшения до тех пор, пока остаток не будет мньше нуля, записывая в столбик все результаты деления; затем возле каждого нечётного результата деления поставить 1, а возле чётного - 0. Полученное двоичное число записываем в строчку, начиная с нижней строчки правого столбца.
Например, необходимо перевести деятичное число 46 в двоичный вид:
46/2=(0)23/2=(1)11/2=(1)5/2=(1)2/2=(0)1/2=(1)0
| 46 | 0 |
| 23 | 1 |
| 11 | 1 |
| 5 | 1 |
| 2 | 0 |
| 1 | 1 |
получаем число 1011102
ПРАВИЛА ДВОИЧНОГО СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
СЛОЖЕНИЕ
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Результат последнего действия означает перенос единицы в высший разряд. То есть для увеличения или уменьшения двоичного числа на порядок применяются операция сдвига вправо или влево (SRR и SRL).
СЛОЖЕНИЕ В СТОЛБИК
УМНОЖЕНИЕ
0x0=0
0x1=0
1x0=0
1x1=1
0x1=0
1x0=0
1x1=1
УМНОЖЕНИЕ В СТОЛБИК
ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ
Перевод числа из двоичной системы в десятичную осуществляется путем умножения каждой цифры двоичного числа на 2 в степени, соответствующей её позиции, и суммирования полученных значений.
Например, число 101110 в двоичной системе равно 46 в десятичной системе:
1011102=1 ∙ 25 + 0 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 4610
1011102=1 ∙ 25 + 0 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 1 ∙ 21 + 0 ∙ 20 = 4610
ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
Для преобразования цифровых данных из десятичной системы в двоичную, а также для обратного перевода, применяются специальные устройства - шифраторы и дешифраторы. Как и другие узлы цифровых вычислителей, они реализуются на элементах цифровой логики.
ПРИМЕРЫ:
Частично использовались материалы: А.Б. Гордин. ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ КИБЕРНЕТИКА. изд. Энергия, Москва, 1974